Question

8．如圖所示，設(shè) A，B，C，D是不共面的四點，P，Q，R，S分別是AC，BC，BD，AD的中點，若AB=12$\sqrt{2}$，CD=4$\sqrt{3}$，且四邊形PQRS的面積是12$\sqrt{3}$，
（1）求證：S，R，Q，P四點共面．
（2）求異面直線AB和CD所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)定理證出四邊形SRQP是平行四邊形，即可證明S，R，Q，P四點共面．
（2）得到∠SRQ是要求的異面直線所成的角，根據(jù)所給的條件寫出角所在的三角形中的線段的長，得到要求的角的正弦值，得到結(jié)果．

解答 （1）證明：由題意知SR是△ABD的中位線，
∴SR∥$\frac{1}{2}$AB，SR=$\frac{1}{2}$AB，
同理PQ∥$\frac{1}{2}$AB，PQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴SR∥PQ，SR=PQ，
∴四邊形SRQP是平行四邊形，
∴S，R，Q，P四點共面．
（2）解：由（1）可得∠SRQ是要求的異面直線所成的角，
在四邊形SRQP中，SR=6$\sqrt{2}$，RQ=2$\sqrt{3}$，
四邊形PQRS的面積是12$\sqrt{3}$，
∴SR上的高為$\frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}=\sqrt{6}$
∴sin∠SRQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠SRQ=45°，
∴異面直線AB和CD所成角的大小為45°．

點評 本題考查異面直線所成的角，本題解題的過程是先做出角，再證明角是異面直線所成的角，最后求出角的大小．