Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（-sin$\frac{x}{2}$，-cos$\frac{x}{2}$），其中x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求函數y=f（x）的對稱軸及單調增區間；
（2）若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，求x的值；
（3）函數g（x）=c-$\sqrt{3}$cos2x，若對于任意的x∈[$\frac{π}{2}$，π]，f（x）＜g（x）都成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）為兩個向量的數量積，結合三角函數的恒等變形得到解析式，然后求對稱軸以及單調區間；
（2）求出兩個和向量的坐標，平方化簡得到三角函數值，結合角度范圍求x值；
（3）將f（x）和g（x）代入化簡，分離c，求出最值．

解答 解：（1）因為f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=cos$\frac{3x}{2}$（-sin$\frac{x}{2}$）+sin$\frac{3x}{2}$（-cos$\frac{x}{2}$）=-sin（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=-sin2x，
x∈[$\frac{π}{2}$，π]．2x∈[π，2π]，
所以對稱軸：x=$\frac{3π}{4}$；增區間：x∈[$\frac{π}{2}，\frac{3π}{4}$]；
    （2）|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
所以（cos$\frac{3x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）²+（sin$\frac{3x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$）²=3，
整理得sin2x=-$\frac{1}{2}$，x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
所以2x=$\frac{7π}{6}$或者$\frac{11π}{6}$，
所以x=$\frac{7π}{12}$或者$\frac{11π}{12}$；
     （3）g（x）=c-$\sqrt{3}$cos2x，
若對于任意的x∈[$\frac{π}{2}$，π]，f（x）＜g（x）都成立，
所以-sin2x＜c-$\sqrt{3}$cos2x都成立，
即c＞$\sqrt{3}$cos2x-sin2x=2cos（2x+$\frac{π}{6}$），
又2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{7π}{6}，\frac{13π}{6}$]，
所以2cos（2x+$\frac{π}{6}$）_max=2，
所以c＞2；

點評 本題考查了平面向量的數量積運算、三角函數的恒等變形、三角函數的性質以及恒成立問題；正確熟練的進行化簡運算是解答的關鍵；屬于中檔題．