Question

18．已知向量$\overrightarrow m=（a+c，b）$，$\overrightarrow n=（a-c，b-a）$，且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，其中A、B、C是△ABC的內角，a，b，c分別是角A，B，C的對邊．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinB的最大值．

Answer 1

分析 （I）已知利用平面向量數量積的運算可求a²+b²-c²=ab，由余弦定理可求cosC，結合范圍0＜C＜π，可求C的值．
（II）由（I）可求$A+B=\frac{2π}{3}$，利用三角函數恒等變換的應用化簡可求sinA+sinB=$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，由范圍$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函數的性質可求$\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$的最大值．

解答 （本題滿分為10分）
解：（I）由$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，得（a+c）（a-c）+b（b-a）=0⇒a²+b²-c²=ab，
由余弦定理$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{ab}{2ab}=\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，
則$C=\frac{π}{3}$．…（5分）
（II）由（I）得$C=\frac{π}{3}$，則$A+B=\frac{2π}{3}$，
可得：$sinA+sinB=sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）=\frac{3}{2}sinA+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA=\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（A+\frac{π}{6}）≤1$，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜\sqrt{3}sin（A+\frac{π}{6}）≤\sqrt{3}$．
即sinA+sinB最大值為$\sqrt{3}$．…（10分）

點評 本題主要考查了平面向量數量積的運算，余弦定理，三角函數恒等變換的應用，正弦函數的性質在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．