Question

13．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，EF∥AB，∠BAF=90°，AD=2，AB=AF=2EF=1，點P在棱DF上．
（1）求證：AD⊥BF；
（2）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；
（3）是否存在正實數λ，使得$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{PF}$，且滿足二面角D-AP-C的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用面面垂直的性質定理、線面垂直的判定定理及其性質定理即可得出．
（2）以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系A-yxz．利用線面垂直與數量積的關系可得平面的法向量，利用平面法向量的夾角公式即可得出．

解答 （1）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，
∴AD⊥平面ABEF．
又∵BF?平面ABEF，
∴AD⊥EF．
（2）解：∵∠BAF=90°，
∴AF⊥AB．
∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF=AB，
∴AF⊥平面ABCD．
∴AF⊥AD．
又四邊形ABCD為矩形，AB⊥AD．
以A為坐標原點，AB，AD，AF分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系A-yxz．則B（1，0，0），E$（\frac{1}{2}，0，1）$，C（1，2，0），F（0，0，1），D（0，2，0），
則P$（0，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{1}{2}，0，1）$，$\overrightarrow{CP}$=$（-1，-1，-\frac{1}{2}）$，
cos$＜\overrightarrow{BE}，\overrightarrow{CP}＞$=$\frac{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{CP}}{|\overrightarrow{BE}||\overrightarrow{CP}|}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{5}{4}}•\sqrt{\frac{9}{4}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
∴異面直線BE與CP所成角的余弦值為$\frac{4\sqrt{5}}{15}$．
（3）假設存在正實數λ滿足題意，易知平面DAP的一個法向量為$\overrightarrow{AB}$=（0，0，1），設P（x₀，y₀，z₀），
由$\overrightarrow{DP}$=λ$\overrightarrow{PF}$，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=-λ{x}_{0}}\\{{y}_{0}-2=-λ{y}_{0}}\\{{z}_{0}=λ（1-{z}_{0}）}\end{array}\right.$，解得x₀=0，${y}_{0}=\frac{2}{1+λ}$，${z}_{0}=\frac{λ}{1+λ}$．
∴P$（0，\frac{2}{1+λ}，\frac{λ}{1+λ}）$．
$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{AP}$=$（0，\frac{2}{1+λ}，\frac{λ}{1+λ}）$．
設平面APC的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{\frac{2y}{1+λ}+\frac{λz}{1+λ}=0}\end{array}\right.$，令y=-1，則x=2，z=$\frac{2}{λ}$．
即$\overrightarrow{n}$=$（2，-1，\frac{2}{λ}）$，則cos$＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}+（\frac{2}{λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解之得：λ=2，或-2（舍去）．
綜上所述，存在λ=2滿足題意．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定定理及其性質定理、線面垂直與數量積的關系、平面法向量的夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．