Question

4．某中學為了選拔優秀數學尖子參加本市舉行的數學競賽，先在本校甲、乙兩個實驗班中進行數學能力摸底考試，考完后按照大于等于90分（百分制）為優秀，90分以下為非優秀，統計成績后，得到如下所示2×2列聯表

	優秀	非優秀	總計
甲班	a=10	b=45	a+b=55
乙班	c=20	d=30	c+d=50
合計	a+c=30	b+d=75	105

附公式：${Χ^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（x2＞k）	0.010	0.050	0.010	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.82

已知在全部105人中隨機抽取1人為優秀的概率為$\frac{2}{7}$
（ I）請完成上面的列聯表中未填數據，并按95%的可靠性要求，你能否認為學生的成績與班級有關系？
（ II）若按分層抽樣方法抽取甲、乙兩班優秀學生9人，然后再選派3人參加市里的數學競賽，記甲班優秀生被派出的人數為x，試求x的分布列及數學期望．

Answer 1

分析 （I） 根據全部105人中隨機抽取1人為優秀的概率為$\frac{2}{7}$，則優秀人數=$105×\frac{2}{7}$=30，可得c=30-10=20．∴c+d=50，
a+b=105-50=55，b=55-10=45．進而得出下表：根據列聯表中的數據，得到K²．
（II）根據分層抽樣可得：從甲班中應抽取人數=$\frac{10}{30}×9$=3，從乙班中應抽取人數=9-3=6．然后再選派3人參加市里的數學競賽，記甲班優秀生被派出的人數為X，則X=0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{6}^{3-k}}{{∁}_{9}^{3}}$．

解答 解：（I） 根據全部105人中隨機抽取1人為優秀的概率為$\frac{2}{7}$，
則優秀人數=$105×\frac{2}{7}$=30，可得c=30-10=20．
∴c+d=50，
a+b=105-50=55，b=55-10=45．進而得出下表：

	優秀	非優秀	總計
甲班	10	45	55
乙班	20	30	50
合計	30	75	105

根據列聯表中的數據，得到K²=$\frac{105×（10×30-20×45）^{2}}{55×50×30×75}$=6.109＞3.841．
因此有95%的把握認為“成績與班級有關系”．
（II）根據分層抽樣可得：從甲班中應抽取人數=$\frac{10}{30}×9$=3，從乙班中應抽取人數=9-3=6．然后再選派3人參加市里的數學競賽，記甲班優秀生被派出的人數為X，則X=0，1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{3}^{k}{∁}_{6}^{3-k}}{{∁}_{9}^{3}}$，可得P（X=0）=$\frac{20}{84}$，P（X=1）=$\frac{45}{84}$，P（X=2）=$\frac{18}{84}$，P（X=3）=$\frac{1}{84}$．可得X的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

E（X）=0×$\frac{20}{84}$+1×$\frac{45}{84}$+2×$\frac{18}{84}$+3×$\frac{1}{84}$=1．

點評 本題考查了頻數分布表、“列聯表”、獨立性檢驗計算公式、分層抽樣、超幾何分布列計算公式及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．