Question

16．已知函數f（x）=（x²-ax-a）e^x．
（1）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（2）若a∈（0，2），對于任意x₁，x₂∈[-4，0]，都有$|{f（{x_1}）-f（{x_2}）}|＜4{e^{-2}}+m{e^a}$恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（2）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；根據函數的單調性求出f（x）的最大值，問題轉化為m＞$\frac{a}{{e}^{a}}$（e^-2+1）恒成立，令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x∈（0，2），根據函數的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=（x²-x-1）e^x，
∴f′（x）=（x²+x-2）e^x，
當f′（x）=（x²+x-2）e^x＞0時，解得x＞1或x＜-2，函數單調遞增，
當f′（x）=（x²+x-2）e^x＜0時，解得-2＜x＜1，函數單調遞減，
∴f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上為增函數，在（-2，1）上為減函數；
（2）f′（x）=（x+2）（x-a）e^x，
 a∈（0，2）時，f（x）在（-4，-2）上單調遞增，在（-2，0）單調遞減，
所以f（x）_max=f（-2）=（a+4）e^-2，f（-4）=（3a+16）e^-4＞-a=f（0），
故|f（x₁）-f（x₂）|_max=|f（-2）-f（0）|=a（e^-2+1）+4e^-2，
|f（x₁）-f（x₂）|＜4e^-2+me^a恒成立，即a（e^-2+1）+4e^-2＜4e^-2+me^a恒成立，
即m＞$\frac{a}{{e}^{a}}$（e^-2+1）恒成立，
令g（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$，x∈（0，2），易知g（x）在其定義域上有最大值g（1）=$\frac{1}{e}$，
所以m＞$\frac{1{+e}^{2}}{{e}^{3}}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．