Question

14．某青年教師有一專項課題是進行“學生數學成績與物理成績的關系”的研究，他調查了某中學高二年級800名學生上學期期末考試的數學和物理成績，把成績按優秀和不優秀分類得到的結果是：數學和物理都優秀的有60人，數學成績優秀但物理不優秀的有140人，物理成績優秀但數學不優秀的有60人．
（1）能否在犯錯概率不超過0.001的前提下認為該中學學生的數學成績與物理成績有關？
（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，從全體高二年級學生成績中，有放回地隨機抽取4名學生的成績，記抽取的4份成績中數學、物理兩科成績恰有一科優秀的份數為X，求X的分布列和期望E（X）．
附：

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010
k0	6.635	7.879	10.828

K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）利用公式計算出K²，進而得出結論．
（2）隨機抽取1名學生的成績，數學、物理兩科成績恰有一科優秀的概率為$p=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}$，利用由X～B（4，$\frac{1}{4}$），即可得出X的分布列及其數學期望．

解答 解：（1）列出的2×2列聯表為：

	數學成績	物理成績	合計
優秀	200	120	320
不優秀	600	680	1280
合計	800	800	1600

…（3分）
∴${K^2}=\frac{{1600{{（200×680-600×120）}^2}}}{800×800×320×1280}=25．＞10.828$；
故能在犯錯概率不超過0.001的前提下認為該中學學生的數學成績與物理成績有關系．…（6分）
（2）隨機抽取1名學生的成績，數學、物理兩科成績恰有一科優秀的概率為$p=\frac{200}{800}=\frac{1}{4}$…（7分）
∵X～B（4，$\frac{1}{4}$），∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
p	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

…（10分）
∴$E（X）=np=4×\frac{1}{4}=1$．…（12分）

點評 本題考查了獨立性檢驗思想、二項分布列及其數學期望，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．