Question

6．如圖，已知四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，且SA=AB=BC=2CD=2，E是邊SB的中點．
（1）求證：CE∥平面SAD；
（2）求二面角D-EC-B的余弦值大小．

Answer 1

分析 （1）取SA中點F，連結EF，FD，推導出四邊形EFDC是平行四邊形，由此能證明CE∥面SAD．
（2）在底面內過點A作直線AM∥BC，則AB⊥AM，以AB，AM，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．

解答 證明：（1）取SA中點F，連結EF，FD，
∵E是邊SB的中點，
∴EF∥AB，且EF=$\frac{1}{2}$AB，
又∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD，
又∵AB=2CD，且EF=CD，
∴四邊形EFDC是平行四邊形，
∴FD∥EC，
又FD?平面SAD，CE?平面SAD，
∴CE∥面SAD．
解：（2）在底面內過點A作直線AM∥BC，則AB⊥AM，
又SA⊥平面ABCD，
以AB，AM，AS所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（1，2，0），D（1，2，0），E（1，0，1），
則$\overrightarrow{BC}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，），$\overrightarrow{CE}$=（-1，-2，1），
設面BCE的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
同理求得面DEC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
由圖可知二面角D-EC-B是鈍二面角，
∴二面角D-EC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．