Question

5．在△OMN中，點A在OM上，點B在ON上，且AB∥MN，2OA=OM，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，則終點P落在四邊形ABNM內（含邊界）時，$\frac{y+x+2}{x+1}$的取值范圍是（　　）

• A． $[\frac{1}{2}，2]$
• B． $[\frac{1}{3}，3]$
• C． $[\frac{3}{2}，3]$
• D． $[\frac{4}{3}，4]$

Answer 1

分析 利用向量知識可知，推出點Q（x，y）落 在平面直角坐標系中兩直線x+y=1，x+y=2及x軸、y軸圍成的四邊形（含邊界）內．畫出圖形，利用目標函數的幾何意義求解即可．

解答 解：由題意，點P（x，y）落 在平面直角坐標系中兩直線x+y=1，x+y=2及x軸、y軸圍成的四邊形（含邊界）內．又因為$\frac{y+x+2}{x+1}=\frac{y+1}{x+1}+1=k+1$，其中$k=\frac{y+1}{x+1}$表示點Q（-1，-1）與點P連線的斜率．
由圖形可知$\frac{1}{3}≤k≤3$，所以$\frac{4}{3}≤\frac{y+x+2}{x+1}≤4$．
故選：D．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵．