Question

10．若△OAB的垂心H（1，0）恰好為拋物線y²=2px的焦點，O為坐標原點，點A、B在此拋物線上，則此拋物線的方程是y²=4x，△OAB面積是10$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據焦點為H（1，0），求出拋物線的方程，利用對稱性，及AH⊥OB，得$\frac{2a}{{{a^2}-1}}•\frac{2b}{b^2}=-1$，解得$a=\sqrt{5}$（不妨取正值），即可計算面積．

解答 解：因為焦點為H（1，0），所以拋物線的方程是y²=4x．
設A（a²，2a），B（b²，2b），由拋物線的對稱性可知，b=-a．
又因為AH⊥OB，得$\frac{2a}{{{a^2}-1}}•\frac{2b}{b^2}=-1$，解得$a=\sqrt{5}$（不妨取正值），
從而可得△OAB面積是$\frac{1}{2}×5×4\sqrt{5}$=10$\sqrt{5}$．
故答案為${y^2}=4x，10\sqrt{5}$．

點評 本題考查拋物線的方程與性質，考查方程思想的運用，屬于中檔題．