Question

在平面四邊形ABCD中，順次的三條線段AC=CD=DA=10，AB=8，BC=6，求（BD+AC）•（BD-AC）的值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：如圖所示，由AC=10，AB=8，BC=6，可得∠ABC=90°．設∠ACB=θ，則sinθ=

8

10

=

4

5

，cosθ=

3

5

．可得cos∠BCD=cos（θ+60°）．利用余弦定理可得：BD²=DC²+BC²-2DC•BC•cos（θ+60°），再利用平方差公式可得（BD+AC）•（BD-AC）=BD²-AC²．

解答： 解：如圖所示，
∵AC=10，AB=8，BC=6，6²+8²=10²，
∴∠ABC=90°．
設∠ACB=θ，則sinθ=

8

10

=

4

5

，cosθ=

3

5

．
∴cos∠BCD=cos（θ+60°）=cosθcos60°-sinθsin60°=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

．
∴BD²=DC²+BC²-2DC•BC•cos（θ+60°）=102+62-2×10×6×

3-4 3

10

=100+48

3

，
∴（BD+AC）•（BD-AC）=BD²-AC²=100+48

3

-10²=48

3

．

點評：本題考查了直角三角形的邊角關系、兩角和差的余弦公式、余弦定理、平方差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．