Question

已知a∈R，函數f（x）=x³（x-a），求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值h（a）．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：求導數，分類討論，利用函數的單調性，即可求出函數f（x）在區間[1，2]上的最小值h（a）．

解答： 解：∵f（x）=x³（x-a），
∴f′（x）=4x³-3ax²=x²（4x-3a），

3

4

a＜1，即a＜

4

3

時，函數在[1，2]上單調遞增，h（a）=f（1）=1-a；
1≤

3

4

a≤2，即

4

3

≤a≤

8

3

時，函數在[1，

3

4

a]上單調遞減，在[

3

4

a，2]上單調遞增，h（a）=f（

3

4

a）=0；

3

4

a＞2，即a＞

8

3

時，函數在[1，2]上單調遞減，h（a）=f（2）=8（2-a），
∴函數f（x）在區間[1，2]上的最小值h（a）=

1-a，a＜ 4 3 0， 4 3 ≤a≤ 8 3 8(2-a)，a＞ 8 3

．

點評：本題考查函數的最值，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．