Question

已知常數a＞0，函數f（x）=

x

x2+a

（1）求f（x）的單調區間；
（2）求g（x）=

x+1

x2+2x+3

，x∈[-1，1]的最大值、最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求函數f（x）的導數，利用導數即可求f（x）的單調區間；
（2）根據余弦函（1）的結論，利用換元法將求g（x）=

x+1

x2+2x+3

，x∈[-1，1]轉化為f（x）形式，即可求出函數的最大值、最小值

解答： 解：（1）∵f（x）=

x

x2+a

，
∴函數的導數f′（x）=

x2+a-x•2x

(x2+a)2

=

-x2+a

(x2+a)2

=

-(x- a )(x+ a )

(x2+a)2

，
由f′（x）＞0得-

a

＜x＜

a

，此時函數單調遞增，
由f′（x）＜0得x＜-

a

或x＞

a

，此時函數單調遞減，
故函數單調遞增區間為[-

a

，

a

]，單調遞減區間為（-∞，-

a

]和[

a

，+∞）．
（2）g（x）=

x+1

x2+2x+3

=

x+1

(x+1)2+2

=，x∈[-1，1]，
設t=x+1，則t∈[0，2]，
即函數g（x）等價為m（t）=

t

t2+2

，
由（1）知此時a=2，則函數在[-

2

，

2

]上單調遞增，在[

2

，+∞）上遞減，
則當t=

2

時，函數取得極大值同時也是最大值m（

2

）=

2

( 2 )2+2

=

2

4

∵m（0）=0，m（2）=

2

4+2

=

2

6

=

1

3

，則最小值為0，
故函數g（x）的最大值為

2

4

、最小值0．

點評：本題主要考查函數最值的應用，求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系是解決函數單調性和最值的關鍵．