Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．
（1）若數列{b_n}滿足b_n=a_n+

1

n+1

（n∈N^*），求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設c_n=

2n

(n+1)an+1

，記 S_n=c₁•c₂+c₂•c₃+…+c_n•c_n+1，求使S_n＞

7

9

的最小正整數n的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由b_n=a_n+

1

n+1

（n∈N^*），變形an=bn-

1

n+1

，代入a_n=2a_n-1+

n+2

n(n+1)

（n≥2，n∈N^*）．可得b_n=2b_n-1．即可證明；
（2）由（1）得bn=

3

2

×2n-1，可得an=

3

2

×2n-1-

1

n+1

，c_n=

4

3(n+1)

，可得c_n•c_n+1=

16

9

(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用“裂項求和”可得S_n，進而解出即可．

解答： （1）證明：∵b_n=a_n+

1

n+1

（n∈N^*），
∴an=bn-

1

n+1

，代入a_n=2a_n-1+

n+2

n(n+1)

=2a_n-1+

2

n

-

1

n+1

（n≥2，n∈N^*）．
∴a_n+

1

n+1

=2（2a_n-1+

1

n

），
化為b_n=2b_n-1．
b1=a1+

1

2

=

3

2

，
∴{b_n}是以

3

2

為首項，2為公比的等比數列．
（2）由（1）得bn=

3

2

×2n-1，
∴an=

3

2

×2n-1-

1

n+1

，
∴c_n=

2n

(n+1)an+1

=

4

3(n+1)

，
∴c_n•c_n+1=

4

3(n+1)

×

4

3(n+2)

=

16

9

(

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴S_n=c₁•c₂+c₂•c₃+…+c_n•c_n+1=

16

9

[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]
=

16

9

(

1

2

-

1

n+2

)，
由S_n＞

7

9

，化為

1

2

-

1

n+2

＞

7

16

，

1

16

＞

1

n+2

，解得n＞14，
∴滿足條件的最小正整數n等于15．

點評：本題考查了遞推式的應用、等比數列的定義及其通項公式、“裂項求和”、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．