Question

函數f（x）、g（x）的圖象在區間[a，b]上連續不斷，且f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），g（x）＞0，則對任意的x∈（a，b）都有（　　）

• A、f（x）•g（x）＞f（a）•g（b）
• B、f（x）•g（a）＞f（a）•g（x）
• C、f（x）•g（x）＞f（b）•g（b）
• D、f（x）•g（b）＞f（b）•g（x）

Answer 1

考點：導數的運算,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：根據題意構造函數h（x）=

f(x)

g(x)

，求出h（x）的導數，由條件判斷出h′（x）的符號，得到函數在區間上的單調性，由單調性的定義和選項列出不等式，再化簡即可．

解答： 解：由題意設h（x）=

f(x)

g(x)

，g（x）＞0，所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

）在，
因為f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x），所以h′(x)=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
則函數h（x）在[a，b]上單調遞增，
因為b＞a，所以h（b）＞h（x）或h（x）＞h（a），即

f(b)

g(b)

＞

f(x)

g(x)

或

f(x)

g(x)

＞

f(a)

g(a)

，
所以f（b）•g（x）＞f（x）•g（b）或f（x）•g（a）＞f（a）•g（x），
故選：B．

點評：本題考查導數與函數的單調性的關系，函數單調性的定義的應用，考查構造函數法，構造恰當的函數是解題的關鍵，屬于中檔題．