Question

已知在直角坐標系xOy中，圓錐曲線C的參數方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數），定點A（0，-

3

），F₁、F₂是圓錐曲線C的左、右焦點．
（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求經過點F₁且平行于直線AF₂的直線l的極坐標方程；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中直線l與圓錐曲線C交于M，N兩點，求|F₁M|•|F₁N|．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：（1）利用cos²θ+sin²θ=1可得曲線C的普通方程，即可得出焦點坐標，得到直線l的點斜式方程，化為極坐標方程即可；
（2）直線的參數方程是

x=-+ 1 2 t y= 3 2 t

（為參數），代入橢圓方程得5t²-4t-12=0，利用參數的意義即可得出．

解答： 解：（1）圓錐曲線C的參數方程為

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ為參數），
∴普通方程為C：

x2

4

+

y2

3

=1，A（0，-

3

），F₁（-1，0），F₂（1，0），
kAF2=

3

，直線l的方程為y=

3

（x+1），
∴直線l極坐標方程為：ρsinθ=

3

ρcosθ+

3

，化為2ρsin(θ-

π

3

)=

3

．
（2）直線的參數方程是

x=-+ 1 2 t y= 3 2 t

（為參數），
代入橢圓方程得5t²-4t-12=0，
∴t1t2=

-12

5

．
∴|F₁M|•|F₁N|=|t1t2|=

12

5

．

點評：本題考查了直線的直角坐標方程化為極坐標、橢圓的參數方程化為普通方程、參數的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．