Question

20．已知數列{a_n}中，a₁=-2，前n項和S_n滿足a_n+1+3S_n+2=0（n∈N^*）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）是否存在整數對（m，n）滿足$a_n^2-m{a_n}-4m-8=0$？若存在，求出所有滿足題意的整數對（m，n）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）在a_n+1+3S_n+2=0中，分別令n=1與n=2，可求得a₂與a₃的值，當n≥2時，a_n+1+3S_n+2=0與a_n+3S_n-1+2=0相減得：a_n+1-a_n=-3（S_n-S_n-1），進一步整理可得a_n+1=-2a_n（n≥2），而n=1時也符合該等式，故數列{a_n}是首項為-2，公比也為-2的等比數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由$a_n^2-m{a_n}-4m-8=0$可求得m=$\frac{{（-2）}^{2n}-8}{{（-2）}^{n}+4}$=（-2）^m-4+$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$，若存在整數對（m，n），則$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$必須是整數，通過對（-2）ⁿ+4只能是8的因數±1，±2，±4，±8的情況的討論，可得答案．

解答 解：（1）在a_n+1+3S_n+2=0中，令n=1可得a₂+3a₁+2=0，又a₁=-2，解得a₂=4；
令n=2可得a₃+3S₂+2=0，解得a₃=-8；…（2分）
當n≥2時，a_n+1+3S_n+2=0與a_n+3S_n-1+2=0相減得：a_n+1-a_n=-3（S_n-S_n-1），
即a_n+1-a_n+3a_n=0，a_n+1=-2a_n（n≥2），而n=1時也符合該等式，
故數列{a_n}是首項為-2，公比也為-2的等比數列，其通項公式為a_n=（-2）ⁿ．    …（5分）
（2）$a_n^2-m{a_n}-4m-8=0$，即（-2）²ⁿ-m（-2）ⁿ=4m+8，
m=$\frac{{（-2）}^{2n}-8}{{（-2）}^{n}+4}$=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$，…（8分）
若存在整數對（m，n），則$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$必須是整數，
其中（-2）ⁿ+4只能是8的因數±1，±2，±4，±8，
顯然（-2）ⁿ+4=±1無解；
（-2）ⁿ+4=±2，可得n=1，m=-2；
（-2）ⁿ+4=±4可得n=3，m=-14；
（-2）ⁿ+4=±8可得n=2，m=1；
綜上所有的滿足題意得整數對為（-2，1），（-14，3），（1，2）．    …（12分）

點評 本題考查數列遞推式，（Ⅱ）中分離參數m，得到m=$\frac{{（-2）}^{2n}-8}{{（-2）}^{n}+4}$=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$，是關鍵，也是難點，考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合運用，考查邏輯思維能力與運算能力，屬于難題．