Question

12．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，（本題不作圖不得分）
（1）求z=2x+y的最大值和最小值；
（2）求z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍．

Answer 1

分析 由已知首先畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求各目標函數的最值．

解答 解：由已知得到平面區域如圖：（1）z=2x+y變形為y=-2x+z，當此直線經過圖中A時使得直線在y軸的截距最小，z最小，經過圖中B時在y軸的截距最大，z 最大，A（1，1），B（5，2），所以z=2x+y的最大值為2×5+2=12，最小值為2×1+1=3；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$的幾何意義表示區域內的點與（-1，-1）連接直線的斜率，所以與B的直線斜率最小，與C連接的直線斜率最大，所以z=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值為$\frac{2+1}{5+1}=\frac{1}{2}$，最大值為$\frac{\frac{22}{5}+1}{1+1}=\frac{27}{10}$所以z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{1}{2}，\frac{27}{10}$]．

點評 本題考查了簡單線性規劃問題；一般的，首先正確畫出可行域，然后利用目標函數的幾何意義求最值．考查數形結合的數學思想．