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20.已知函數f(x)=lnx,函數g(x)=$\frac{1}{x}$.
(Ⅰ)證明:函數F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上為增函數.
(Ⅱ)用反證法證明:f(x)=2的解是唯一的.

分析 (I)根據增函數的定義進行證明;
(II)假設f(x)=2有不同的解x1,x2,根據對數的運算性質即可得出x1=x2,故假設錯誤,原結論成立.

解答 證明:(I)F(x)=lnx-$\frac{1}{x}$,
設x1,x2是(0,+∞)上的任意兩個數,且x1<x2,
則F(x1)-F(x2)=lnx1-lnx2+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$,
∵x2>x1>0,
∴0<$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$<1,$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$<0,
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$<0,即F(x1)<F(x2),
∴F(x)在(0,+∞)上是增函數.
(II)假設f(x)=2有兩個不同的解x1,x2,則f(x1)=f(x2)=2,
即lnx1=lnx2=2,∴lnx1-lnx2=0,即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0,
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=1,即x1=x2,與x1≠x2矛盾.
∴f(x)=2的解是唯一的.

點評 本題考查了函數增減性的判斷,反證法證明,屬于基礎題.

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