Question

20．已知函數f（x）=lnx，函數g（x）=$\frac{1}{x}$．
（Ⅰ）證明：函數F（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上為增函數．
（Ⅱ）用反證法證明：f（x）=2的解是唯一的．

Answer 1

分析 （I）根據增函數的定義進行證明；
（II）假設f（x）=2有不同的解x₁，x₂，根據對數的運算性質即可得出x₁=x₂，故假設錯誤，原結論成立．

解答 證明：（I）F（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，
設x₁，x₂是（0，+∞）上的任意兩個數，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）=lnx₁-lnx₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵x₂＞x₁＞0，
∴0＜$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜1，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）在（0，+∞）上是增函數．
（II）假設f（x）=2有兩個不同的解x₁，x₂，則f（x₁）=f（x₂）=2，
即lnx₁=lnx₂=2，∴lnx₁-lnx₂=0，即ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=0，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=1，即x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾．
∴f（x）=2的解是唯一的．

點評 本題考查了函數增減性的判斷，反證法證明，屬于基礎題．