Question

15．對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“Kobe函數”．若函數f（x）=k+$\sqrt{x-1}$是“Kobe函數”，則實數k的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，0]
• B． [1，+∞）
• C． $[{-1，-\frac{3}{4}}）$
• D． $（{\frac{3}{4}，1}]$

Answer 1

分析 根據新定義，當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，可知函數f（x）是增函數，其圖象與y=x有兩個不同的交點．即可求解．

解答 解：由題意，當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，可知函數f（x）是增函數，其圖象與y=x有兩個不同的交點，
可得：x=k+$\sqrt{x-1}$，必有兩個不相等的實數根．
即：x-k=$\sqrt{x-1}$，
∵$\sqrt{x-1}≥0$，即x≥1，
∴1-k≥0，可得k≤1．
那么：（x-k）²=x-1有兩個不相等的實數根．
其判別式△＞0，即（2k+1）²-4k²-4＞0，
解得：k$＞\frac{3}{4}$，
∴實數k的取值范圍是（$\frac{3}{4}$，1]．
故選D．

點評 本題考查了對定義的理解和轉化思想，圖象與y=x有兩個不同的交點，即（x-k）²=x-1有兩個不相等的實數根是關鍵．屬于中檔題．