Question

6．滿足不等式|x-A|＜B（B＞0，A∈R）的實數x的集合叫做A的B鄰域，若a+b-2的a+b鄰域是一個關于原點對稱的區間，則$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 先根據條件求出-2＜x＜2（a+b）-2；再結合而鄰域是一個關于原點對稱的區間域得到a+b=2，再構造函數f（x）=$\frac{1}{2-x}$+$\frac{4}{x}$，利用導數求出函數的值域．

解答 解：∵A的B鄰域在數軸上表示以A為中心，B為半徑的區域，
∴|x-（a+b-2）|＜a+b⇒-2＜x＜2（a+b）-2，
而鄰域是一個關于原點對稱的區間域，可得a+b-2=0⇒a=2-b．
$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2-b}$+$\frac{4}{b}$，
設f（x）=$\frac{1}{2-x}$+$\frac{4}{x}$，x≠0且x≠2
∴f′（x）=$\frac{1}{（x-2）^{2}}$-$\frac{4}{{x}^{2}}$=$\frac{-（x-4）（3x-4）}{（x-2）^{2}{x}^{2}}$
當f′（x）＞0是，解得$\frac{4}{3}$＜x＜4，且x≠2，
當f′（x）＜0是，解得x＜$\frac{4}{3}$或x＞4，且x≠0，
∴函數f（x）在（$\frac{4}{3}$，2），（2，4）上單調遞增，函數f（x）在（-∞，0），（0，$\frac{4}{3}$），（4，+∞）上單調遞減，
∴當x=4時，函數有極大值，即f（4）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{1}{2}$，
當x=$\frac{4}{3}$時，函數有極小值，即f（$\frac{4}{3}$）=-$\frac{1}{2}$+1=$\frac{9}{2}$，
∴f（x）的值域為$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．
故則$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]∪[\frac{9}{2}，+∞）$．

點評 本題主要考查了新定義的應用和導數和函數的極值的應用，屬于中檔題