Question

14．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸標準煤）的幾組對照數(shù)據(jù)．

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；
（2）請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤．試根據(jù)第2題求出的回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標準煤？
（參考數(shù)值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）

Answer 1

分析 （1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標，在坐標系中描出來，得到散點圖；
（2）根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)求出回歸方程的系數(shù)，得到線性回歸方程；
（3）根據(jù)線性回歸方程，計算x=100時的生產(chǎn)能耗，求出比技改前降低的標準煤．

解答 解：（1）把所給的四對數(shù)據(jù)寫成對應(yīng)的點的坐標，
在坐標系中描出來，得到散點圖如下；
（2）由對照數(shù)據(jù)，計算得
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
∴回歸方程的系數(shù)為$\widehat{b}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\widehat{a}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求線性回歸方程為$\widehat{y}$=0.7x+0.35；
（3）由（2）的線性回歸方程，估計生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為
0.7×100+0.35=70.35（噸），
∴90-70.35=19.65噸，
預(yù)測比技改前降低了19.65噸標準煤．

點評 本題考查了散點圖與線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．