Question

3．已知不等式$（{x+y}）（{\frac{1}{x}+\frac{a}{y}}）≥9$對于任意xy＞0恒成立，求正實數a的范圍a≥4．

Answer 1

分析 首先分析題目已知不等式對任意x、y的正實數恒成立．故對不等式左邊展開后，利用基本不等式得恒成立的滿足條件（$\sqrt{a}$+1）²≥9，然后解不等式，可求a值

解答 解：因為（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{a}{y}$）=1+a+$\frac{y}{x}$+$\frac{ax}{y}$≥1+a+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{ax}{y}}$=1+a+2$\sqrt{a}$=（$\sqrt{a}$+1）²，a＞0，
要使原不等式恒成立，則只需（$\sqrt{a}$+1）²≥9，
即$\sqrt{a}$+1≥3，
解得a≥4，
故答案為：a≥4．

點評 此題主要考查基本不等式的應用，在利用基本不等式求參數的值或范圍時，只需求出式子的最小值或最大值，使其滿足已知條件即可．