Question

2．設函數h（x）=f（x）g（x），g（x）=f（x+a），a為常數，a∈[0，π]，設計一個定義域為R的函數y=f（x），及一個a值，使得h（x）=cos2x．你設計的f（x）=sinx+cosx，a=$\frac{π}{2}$（寫出滿足題意的一種情況即可）

Answer 1

分析 令 f（x）=sinx+cosx，α=$\frac{π}{2}$，或令 f（x）=1+$\sqrt{2}$sinx，α=π，驗證可得．

解答 解：令 f（x）=sinx+cosx，α=$\frac{π}{2}$，
則g（x）=f（x+$\frac{π}{2}$）=sin（x+$\frac{π}{2}$）+cos（x+$\frac{π}{2}$）=cosx-sinx，
∴h（x）=f（x）f（x+$\frac{π}{2}$）=（sinx+cosx）（cosx-sinx）=cos2x．
另解：令 f（x）=1+$\sqrt{2}$sinx，α=π，
則 g（x）=f（x+π）=1+$\sqrt{2}$sin（x+π）=1-$\sqrt{2}$sinx，
于是h（x）=f（x）f（x+π）=（1+$\sqrt{2}$sinx）（1-$\sqrt{2}$sinx）=cos2x．
故答案為：sinx+cosx，$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查根據函數的新定義求函數的解析式，考查學生的運算和推理能力，屬于中檔題．