Question

15．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與圓（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1相切，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出圓的圓心與半徑，雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1相切，列出方程求解即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線bx+ay=0，圓（x+1）²+（y-$\sqrt{3}$）²=1的圓心（-1，$\sqrt{3}$）在的二象限，因為雙曲線的漸近線與圓相切，
可得：$\frac{|-b+\sqrt{3}a|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=1$，
可得a=$\sqrt{3}b$，即a²=3b²=3c²-3a²
可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{4}{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓錐曲線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力．