Question

10．數列{a_n}是公差不為零的等差數列，S_n是其前n項和，已知a₂+a₃+a₅=20，且a₂、a₄、a₈成等比數列，記M=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$．
（1）求M；
（2）數列{b_n}的前n項和為T_n，已知T_n=2（b_n-1），試比較T_n與M+1的大小．

Answer 1

分析 （1）設數列{a_n}是公差d不為零的等差數列，由等差數列的通項公式和等比數列中項的性質，可得首項與公差的方程，解方程可得首項和公差，進而得到S_n，由$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，運用裂項相消求和，即可得到M；
（2）求出b₁，再由當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1，化簡可得數列{b_n}為首項和公比均為2的數列，由等比數列前n項和公式，可得T_n，運用數列的單調性和不等式的性質，即可得到結論．

解答 解：（1）設數列{a_n}是公差d不為零的等差數列，
a₂+a₃+a₅=20，可得3a₁+7d=20，①
a₂、a₄、a₈成等比數列，可得a₄²=a₂a₈，
（a₁+3d）²=（a₁+d）（a₁+7d），②
由①②解得a₁=d=2，
S_n=na₁+$\frac{1}{2}$n（n-1）d=2n+n（n-1）=n²+n，
$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}+n}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
M=$\frac{1}{{S}_{1}}$+$\frac{1}{{S}_{2}}$+…+$\frac{1}{{S}_{n}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
=1-$\frac{1}{n+1}$；
（2）T_n=2（b_n-1），
當n=1時，b₁=T₁=2（b₁-1），
解得b₁=2，
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=2（b_n-1）-2（b_n-1-1），
可得b_n=2b_n-1，
則數列{b_n}為首項和公比均為2的數列，
即有T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2（2ⁿ-1），
由于T_n遞增，n=1時，取得最小值2，
即T_n≥2，
又M+1=2-$\frac{1}{n+1}$＜2，
故T_n＞M+1．

點評 本題考查等差數列和等比數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．