Question

20．如圖，平面ABEF⊥平面ABC，四邊形ABEF為矩形，AC=BC，O為AB的中點，OF⊥EC．
（Ⅰ）求證：OE⊥FC；
（Ⅱ）若AC=$\sqrt{3}$．AB=2時，求三棱錐O-CEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結OC，則OC⊥AB，從而OC⊥平面ABEF，進而OF⊥OE，由此能證明OE⊥FC；
（Ⅱ）直接利用三棱錐的體積公式可得結論．

解答 （Ⅰ）證明：連結OC，∵AC=BC，O為AB的中點，
∴OC⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABC，
故OC⊥平面ABEF，
∴OC⊥OF，又OF⊥EC，
∴OF⊥平面OEC，∴OF⊥OE，
又OC⊥OE，∴OE⊥平面OFC，
∴OE⊥FC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知OE=OF=$\sqrt{2}$，OC=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐O-CEF的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．