Question

橢圓的兩焦點坐標分別為和，且橢圓經過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交橢圓于兩點（直線不與軸重合），為橢圓的左頂點，試證明：．

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）法一：由焦點坐標得，進而得到關系，設橢圓方程，帶點求出；法二：用定義結合距離公式求，再求；法三：利用通徑長公式得關系，再結合，求出；（2）設的方程為，與橢圓方程聯立消去，得，于是由韋達定理有，法一：用坐標計算，結合韋達定理化簡得，于是；法二：設弦的中點，根據韋達定理有，再由，用距離公式計算得，弦長公式計算，利用韋達定理化簡得，由此有，因此.

試題解析：（1）法一：由題意，設橢圓方程為，

由已知則有，，聯立解得；

法二：由結合距離公式直接求出，結合，求出；

法三：利用通徑長公式可得，再結合，求出和，

故所求橢圓方程為； （4分）

（2）設直線的方程為：，

由得：，

因為點在橢圓內部，直線必與橢圓相交于兩點，即恒成立，

設，則； （8分）

法一：則

，

將代入上式整理可得，

，則的大小必為定值； （12分）

法二：設弦的中點，則，，

所以，

而由弦長公式得，

由此則有，即，

則知點在以線段為直徑的圓上，故，命題得證.

考點：1、橢圓方程的求法；2、直線與橢圓的關系；3、韋達定理；4、向量的數量積與幾何意義；5、圓的性質.