Question

18．某同學在利用“五點法”作函數f（x）=Asin（ωx+Φ）+t的圖象時，列出了如下表格中的部分數據

x			$\frac{5π}{12}$	$\frac{3π}{4}$
ωx+Φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
f（x）		6		-2

（1）請將表格補充完整，并寫出f（x）的解析式；
（2）若x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據三角函數的性質以及“五點”畫法，計算填表即可．選取坐標求出A，ω，Φ，t的值．可得f（x）的解析式；
（2）x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖象和性質，求出f（x）的最大值和最小值．

解答 解：由題意，可知A=4，t=2．
當x=$\frac{5π}{12}$時，ωx+Φ=π…①
當x=$\frac{3π}{4}$時，ωx+Φ=$\frac{3π}{2}$…②．
由①②可得：ω=$\frac{3}{2}$，Φ=$\frac{3π}{8}$
∴當x=$-\frac{π}{4}$時，ωx+Φ=0．
∴當ωx+Φ=$\frac{π}{2}$時，x=$\frac{π}{12}$．
∴當ωx+Φ=2π時，x=$\frac{13π}{12}$．
∴函數f（x）的解析式為f（x）=4sin（$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$）+2．
（2）x∈[-$\frac{5π}{12}，\frac{π}{4}}$]時，
則$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$∈[$-\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴當$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$=$-\frac{π}{4}$時，函數f（x）取得最小值為4×$（-\frac{\sqrt{2}}{2}）+2$=2$-2\sqrt{2}$．
當$\frac{3}{2}x$+$\frac{3π}{8}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為4×1+2=6．

點評 本題考查了五點畫法的計算和解析式的確定，性質的運用．屬于基礎題．