Question

3．若函數f（x）滿足對于任意實數a，b，c，都有f（a），f（b），f（c）為某三角形的三邊長，則成f（x）為“可構造三角形函數”，已知f（x）=$\frac{{2}^{x}-t}{{2}^{x}+1}$是“可構造三角形函數”，則實數t的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，0]
• B． （-∞，0]
• C． [-2，-1]
• D． [-2，-$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 因對任意實數a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）為三邊長的三角形，則f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，將f（x）解析式用分離常數法變形，由均值不等式可得分母的取值范圍，整個式子的取值范圍由t-1的符號決定，故分為三類討論，根據函數的單調性求出函數的值域，然后討論k轉化為f（a）+f（b）的最小值與f（c）的最大值的不等式，進而求出實數k 的取值范圍

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}-t}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{t+1}{{2}^{x}+1}$，
①當t+1=0即t=-1時，f（x）=1，
此時f（a），f（b），f（c）都為1，能構成一個正三角形的三邊長，滿足題意；
②當t+1＞0即t＞-1時，f（x）在R上單調遞增，
-t＜f（x）＜1，∴-t＜f（a），f（b），f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c）得-2t≥1，
解得-1＜t≤-$\frac{1}{2}$；
③當t+1＜0即t＜-1時，f（x）在R上單調遞減，
又1＜f（x）＜-t，由f（a）+f（b）＞f（c）得2≥-t，
即t≥-2，所以-2≤t＜-1．
綜上，t的取值范圍是-2$≤t≤-\frac{1}{2}$．
故選：D．

點評 本題主要考查了求參數的取值范圍，以及構成三角形的條件和利用函數的單調性求函數的值域，同時考查了分類討論的思想，屬于難題