Question

7．已知命題P：對m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立；命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，若p∨q、￢q都是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p∨q、￢q都是真命題，則q為假命題，p為真命題，進而可得實數a的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：∵m∈[-1，1]，
∴$\sqrt{{m}^{2}+8}$∈[2$\sqrt{2}$，3]
對m∈[-1，1]，不等式a²-5a-3≥$\sqrt{{m}^{2}+8}$恒成立，
可得a²-5a-3≥3
∴a≥6或a≤-1． 故命題p為真命題時，a≥6或a≤-1…（5分）
又命題q：不等式x²+ax+2＜0有解，
∴△=a²-8＞0，即a＞2$\sqrt{2}$，或a＜-2$\sqrt{2}$，…（8分）
∵p∨q、￢q都是真命題
∴q為假命題，p為真命題
從而命題q為假命題時，-2$\sqrt{2}$$≤\\;a≤$a≤2$\sqrt{2}$，…（10分）
∴命題p為真命題，q為假命題時，a的取值范圍為-2$\sqrt{2}$$≤\\;a≤$a≤-1…（12分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了函數恒成立問題，二次不等式的解法，難度中檔．