Question

13．雙曲線的兩條漸近線為x±2y=0，則它的離心率為$\sqrt{5}或\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，則當焦點在x軸上時，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，當焦點在y軸上時，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{b}{a}$=2，e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，即可求得雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知：設雙曲線的實軸長為2a，虛軸長為2b，焦距為2c，
則c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$，
∵雙曲線的漸近線為y=±$\frac{1}{2}$x，
∴當焦點在x軸上時，即$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
當焦點在y軸上時，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{b}{a}$=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題考查了雙曲線的幾何性質，雙曲線的漸近線方程的意義以及雙曲線離心率的求法，考查分類討論思想，屬于中檔題