Question

3．已知函數f（x）=log₂（x+1），當點（x，y）在的y=f（x）圖象上運動時，點（$\frac{x}{3}，\;\frac{y}{2}$）是y=g（x）圖象上的點．
（1）求y=g（x）的表達式；
（2）當g（x）≥f（x）時，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令$\frac{x}{3}$=X，$\frac{y}{2}$=Y，由題設條件知，再由（a，b）是函數y=g（x）的圖象上的點，即可得到函數y=g（x）的解析式；
（2）結合題意得到關于x的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）令$\frac{x}{3}=X，\frac{y}{2}=Y$，所以x=3X，y=2Y，
因為點（x，y）是函數y=f（x）的圖象上，
所以$2Y=log_2^{（3X+1）}$，即$Y=\frac{1}{2}log_2^{（3X+1）}$
所以$g（x）=\frac{1}{2}log_2^{（3x+1）}（x＞-\frac{1}{3}）$；
（2）由g（x）≥f（x），得$\frac{1}{2}log_2^{（3x+1）}≥log_2^{（x+1）}$，
所以$\left\{\begin{array}{l}3x+1＞0\\ x+1＞0\\ 3x+1≥{（x+1）^2}\end{array}\right.$解得0≤x≤1．

點評 本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，關鍵是根據基本不等式，求出真數的范圍，進而根據對數函數的單調性解決問題，是一道基礎題．