Question

19．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=$\frac{4}{3}（{{a_n}-1}）$，則$（{{4^{n-2}}+1}）（{\frac{16}{a_n}+1}）$的最小值為4．

Answer 1

分析 利用數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系，得到數(shù)列是等比數(shù)列，然后化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用基本不等式求解最小值即可．

解答 解：∵${S_n}=\frac{4}{3}（{{a_n}-1}）$，∴${S_{n-1}}=\frac{4}{3}（{{a_{n-1}}-1}）（{n≥2}）$，∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{4}{3}（{{a_n}-{a_{n-1}}}）$，∴a_n=4a_n-1，
又${a_1}={S_1}=\frac{4}{3}（{{a_1}-1}）$，∴a₁=4，∴{a_n}是首項(xiàng)為4，公比為4的等比數(shù)列，∴${a_n}={4^n}$，
∴$（{{4^{n-2}}+1}）（{\frac{16}{a_n}+1}）=（{\frac{4^n}{16}+1}）（{\frac{16}{4^n}+1}）=2+\frac{4^n}{16}+\frac{16}{4^n}≥2+2=4$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)取“=”．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，等比數(shù)列的判斷，基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．