Question

20．已知S_n為等比數列{a_n}的前n項和，且a₁=8，S₃+3a₄=S₅．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=log₂（a_n•a_n+1），c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，記數列{b_n}與{c_n}的前n項和分別為P_n，Q_n，求P_n與Q_n．

Answer 1

分析 （1）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意知S₃+3a₄=S₅，可得3a₄=S₅-S₃=a₄+a₅，化簡利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得b_n=log₂（a_n•a_n+1）=2n+5，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，分別利用等差數列的求和公式、“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，
由題意知S₃+3a₄=S₅，可得3a₄=S₅-S₃=a₄+a₅，
可得2a₄=a₅，∴q=2．
∴a_n=8×2^n-1=2ⁿ⁺²．
（2）由（1）可得b_n=log₂（a_n•a_n+1）=n+2+n+3=2n+5，
c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n+5）（2n+7）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）$，
P_n=$\frac{n（7+2n+5）}{2}$=n²+6n．
Q_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{7}-\frac{1}{9}）+（\frac{1}{9}-\frac{1}{11}）$+…+$（\frac{1}{2n+5}-\frac{1}{2n+7}）]$
=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{7}-\frac{1}{2n+7}）$=$\frac{n}{14n+49}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、等比數列的定義通項公式與求和公式、對數的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．