Question

10．直線x+2y=m（m＞0）與⊙O：x²+y²=5交于A，B兩點，若$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|＞2|{\overrightarrow{AB}}|$，則m的取值范圍為（2$\sqrt{5}$，5）．

Answer 1

分析 根據直線與圓有兩個交點可推斷出圓心到直線的距離小于或等于半徑，根據$|{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}|＞2|{\overrightarrow{AB}}|$，利用平行四邊形法則推斷出∠AOB范圍，通過夾角為直角時求得原點到直線的距離，可得d范圍，求得m的范圍．

解答 解：∵直線x+2y+m=0與圓x²+y²=5交于相異兩點A、B，
∴O點到直線x+2y+m=0的距離d＜$\sqrt{5}$，
又∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$|＞2|$\overrightarrow{AB}$|，由OADB是菱形，并且OC＞2AC，
可知，OC＞2．
圓的圓心到直線的距離d＞2，
可得：$\sqrt{5}$＞$\frac{m}{\sqrt{5}}$＞2，m＞0，解得m∈（2$\sqrt{5}$，5）．
故答案為：（2$\sqrt{5}$，5）．

點評 本題主要考查了直線與圓相交的性質，向量的幾何意義等．考查了學生分析問題和解決問題的能力．