Question

20．已知冪函數f（x）=x^a的圖象過點（4，2），令${a_n}=\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$（n∈N^*），記數列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₈=（　　）

• A． $\sqrt{2018}+1$
• B． $\sqrt{2018}-1$
• C． $\sqrt{2019}+1$
• D． $\sqrt{2019}-1$

Answer 1

分析 先求出f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，從而${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，由此利用裂項求和法能求出S₂₀₁₈．

解答 解：∵冪函數f（x）=x^a的圖象過點（4，2），∴4^a=2，
解得a=$\frac{1}{2}$，∴f（x）=${x}^{\frac{1}{2}}$，
∵${a_n}=\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$（n∈N^*），∴${a}_{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∵{a_n}的前n項和為S_n，
∴S₂₀₁₈=$\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+…+\sqrt{2019}-\sqrt{2018}$=$\sqrt{2019}-1$．
故選：D．

點評 本題考查數列的前2018項的和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意冪函數、裂項求和法的合理運用．