Question

18．已知在數列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
（1）證明：數列{a_n+n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．變形為a_n+1+n+1=2（a_n+n），n∈N^*．即可證明．
（2）由（1）得a_n+n=2ⁿ，利用等差數列與等比數列的求和公式即可得出．

解答 （1）證明：由a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
可得a_n+1+n+1=2（a_n+n），n∈N^*．
又a₁+1=2，所以數列{a_n+n}是以2為首項，以2為公比的等比數列．
（2）解：由（1）得a_n+n=2ⁿ，
故a_n=2ⁿ-n，
所以數列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了數列遞推關系、通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．