Question

13．已知F₁、F₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點M在E的漸近線上，且MF₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，則E的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據MF₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，得到tan∠MF₂F₁=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，MF₁=$\frac{bc}{a}$，求解即可．

解答 解：∵MF₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{3}$，
∴tan∠MF₂F₁=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，MF₁=$\frac{bc}{a}$
∴$\frac{\frac{bc}{a}}{2c}$=$\frac{1}{2\sqrt{2}}$，∴b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據雙曲線的定義結合直角三角形的勾股定理，結合雙曲線離心率的定義是解決本題的關鍵．