Question

8．如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a．
（1）求證：PD⊥平面ABCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出PD⊥DC，PD⊥AD，由此能證明PD⊥平面ABCD．
（2）推導(dǎo)出PD⊥AC．AC⊥BD．從而AC⊥平面PDB，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．

解答 證明：（1）因為PD=a，DC=a，PC=$\sqrt{2}$a，
所以PC²=PD²+DC²，所以PD⊥DC，
同理可證PD⊥AD，
又AD∩DC=D，所以PD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC．
而四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD．
又BD∪PD=D，
所以AC⊥平面PDB．
因為AC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．