Question

9．已知函數f（x）=|2x+1|+|2x-3|，
（1）若關于x的不等式f（x）＞|1-3a|恒成立，求實數a的取值范圍；
（2）若關于t的一元二次方程${t^2}-4\sqrt{2}t+f（m）=0$有實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的幾何意義求出|2x+1|+|2x-3|的最小值，得到a的不等式求解即可．
（2）通過△≥0，得到|2m+1|+|2m-3|≤8，去掉絕對值求解即可．

解答 解：（1）因為f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
所以|1-3a|＜4，即$-1＜a＜\frac{5}{3}$，
所以實數a的取值范圍為$（{-1，\frac{5}{3}}）$．…（5分）
（2）△=32-4（|2m+1|+|2m-3|）≥0，
即|2m+1|+|2m-3|≤8，
所以不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}m＞\frac{3}{2}\\（2m+1）+（2m-3）≤8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}}\\{2m+1-2m+3≤8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m＜-\frac{1}{2}\\-（2m+1）-（2m-3）≤8.\end{array}\right.$
所以$\frac{3}{2}＜m≤\frac{5}{2}$，或$-\frac{1}{2}≤m≤\frac{3}{2}$，或$-\frac{3}{2}≤m＜-\frac{1}{2}$，
所以實數m的取值范圍是$\left\{{m|-\frac{3}{2}≤m≤\frac{5}{2}}\right\}$．       …（10分）

點評 本題考查函數恒成立，絕對值不等式的幾何意義，二次函數的簡單性質的應用，考查轉化思想以及計算能力．