Question

【題目】已知點在橢圓上，、分別為的左、右頂點，直線與的斜率之積為，為橢圓的右焦點，直線.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點且與橢圓交于、兩點，直線、分別與直線交于、兩點.試問：以為直徑的圓是否過定點？如果是，求出定點坐標，否則，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）過定點和，理由見解析.

【解析】

（1）利用直線與的斜率之積為，得出，再由點在橢圓上，可求出的值，即可得出橢圓的標準方程；

（2）由對稱性知，以為直徑的圓過軸上的定點，設直線的方程為，點、，設點、，求出、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，求出的值，由，結合韋達定理求出的值，即可得出定點的坐標.

（1）點在橢圓上，則，①，

易知點、，

直線的斜率為，直線的斜率為，

由題意可得，解得，代入①式得，

因此，橢圓的方程為；

（2）易知，直線不能與軸重合.

由對稱性知，以為直徑的圓過軸上的定點，

設直線的方程為，點、，設點、，

如下圖所示：

易知點，，即，，

得，同理可得.

將直線的方程與橢圓的方程聯立，

消去得，，.

由韋達定理得，，

，

，，

，解得或.

因此，以為直徑的圓過定點和.