Question

【題目】某小區有一塊三角形空地，如圖△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90°，開發商計劃在這片空地上進行綠化和修建運動場所，在△ABC內的P點處有一服務站（其大小可忽略不計），開發商打算在AC邊上選一點D，然后過點P和點D畫一分界線與邊AB相交于點E，在△ADE區域內綠化，在四邊形BCDE區域內修建運動場所. 現已知點P處的服務站與AC距離為10米，與BC距離為100米. 設米，試問取何值時，運動場所面積最大?

Answer 1

【答案】當時，綠化面積最小，從而運動場所面積最大

【解析】

以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立直角坐標系，得到C、A、B、P、D的坐標，再寫出直線DE、AB的方程，由此聯立解出E的坐標，進而表示△ADE的面積，由換元法簡化面積表達式，從而利用基本不等式的知識分析可得答案.

以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸建立直角坐標系，

則，，，，.
DE所在直線方程為，①
AB所在直線方程為，②
解①、②組成的方程組得，，
直線DE經過點B時，
，
則，
設，

，
(當且僅當時取等號)，
此時，
當時，綠化面積最小，從而運動場所面積最大.