Question

【題目】過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，為虛軸的一個端點，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：設出雙曲線的左焦點，令x=﹣c，代入雙曲線的方程，解得A，B的坐標，討論∠DAB為鈍角，可得＜0，或∠ADB為鈍角，可得＜0，運用向量數量積的坐標表示，再由離心率公式和范圍，即可得到所求范圍．

詳解：設雙曲線的左焦點F1（﹣c，0），

令x=﹣c，可得y=±=±，

可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣），

又設D（0，b），可得=（c，b﹣），

=（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣），

由△ABD為鈍角三角形，可能∠DAB為鈍角，可得＜0，

即為0﹣（b﹣）＜0，

化為a＞b，即有a2＞b2=c2﹣a2，

可得c2＜2a2，即e=＜，

又e＞1，可得1＜e＜，

可能△ADB中，∠ADB為鈍角，可得＜0，

即為c2﹣（+b）（﹣b）＜0，

化為c4﹣4a2c2+2a4＞0，

由e=，可得e4﹣4e2+2＞0，

又e＞1，可得e＞．

綜上可得，e的范圍為（1，）∪（．+∞）．

故答案為：