【題目】已知函數
，其中
.
（1）討論
的單調性；
（2）若有兩個極值點
，
，證明：
.
【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【解析】
（1）先求解導數，再結合導數式特點，進行分類討論，可得單調性；
（2）結合極值點的特征，把目標式中雙變量轉化為單變量，結合函數單調性可證.
（1）解：由題得
，其中
，
考察
，，其中對稱軸為
，
.
若
，則
，
此時
，則
，所以
在
上單調遞增；
若
，則
，
此時
在
上有兩個根
，
，且
，
所以當
時，
，則
，單調遞增；
當
時，
，則
，單調遞減；
當
時，，則，單調遞增，
綜上，當時，在上單調遞增；當時，在
上單調遞增，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
（2）證明：由（1）知，當時，有兩個極值點
，
，且
，
，
所以
.
令
，
，則只需證明
，
由于
，故
在
上單調遞減，所以
.
又當時，
，
，
故
，
所以，對任意的，.
綜上，可得
.
優學名師名題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中，直線
的參數方程為
（
為參數）.以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，且曲線
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）設直線上的定點
在曲線外且其到上的點的最短距離為
，試求點的坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】全民健身倡導全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質和健康水平.某部門在該市2013-2018年發布的全民健身指數中，對其中的“運動參與評分值
”（滿分100分）進行了統計，制成如圖所示的散點圖.
（1）根據散點圖，建立關于
的回歸方程
；
（2）從該市的市民中隨機抽取了容量為150的樣本，其中經常參加體育鍛煉的人數為50，以頻率為概率，若從這150名市民中隨機抽取4人，記其中“經常參加體育鍛煉”的人數為
，求的分布列和數學期望.
附：對于一組數據
，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知線段AB的端點B的坐標是（4，2），端點A在圓C：（x+2）2+y2＝16上運動．
（1）求線段AB的中點的軌跡方程H．
（2）判斷（1）中軌跡H與圓C的位置關系．
（3）過點P（3，2）作兩條相互垂直的直線MN，EF，分別交（1）中軌跡H于M，N和E，F，求四邊形MNFE面積的最大值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】給出下列4個命題：
①若函數
在
上有零點，則一定有
；
②函數
既不是奇函數又不是偶函數；
③若函數
的值域為
，則實數
的取值范圍是
；
④若函數滿足條件
，則
的最小值為
.
其中正確命題的序號是：_______.（寫出所有正確命題的序號）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
，直線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線與直線的直角坐標方程.
（2）直線與軸的交點為
，與曲線的交點為
，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
、
是離心率為
的橢圓
：
的左、右焦點，過作
軸的垂線交橢圓所得弦長為
，設
、
是橢圓上的兩個動點，線段
的中垂線與橢圓交于
、
兩點，線段的中點
的橫坐標為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的取值范圍.
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