Question

12．已知函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x-2$\sqrt{3}$sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（$\frac{2π}{3}$）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，
（Ⅰ）代入可得：f（$\frac{2π}{3}$）的值．
（Ⅱ）根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x-2$\sqrt{3}$sinx cosx=-$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x+$\frac{7π}{6}$）
（Ⅰ）f（$\frac{2π}{3}$）=2sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{7π}{6}$）=2sin$\frac{5π}{2}$=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期為π，
由2x+$\frac{7π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{π}{2}$+2kπ]，k∈Z得：
x∈[-$\frac{5π}{6}$+kπ，-$\frac{π}{3}$+kπ]，k∈Z，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-$\frac{5π}{6}$+kπ，-$\frac{π}{3}$+kπ]或?qū)懗蒣kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點評 本題考查的知識點是三角函數(shù)的化簡求值，三角函數(shù)的周期性，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，難度中檔．