Question

2．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面相互垂直，AB=$\sqrt{2}$，AF=1，G為線段AD上的任意一點．
（1）若M是線段EF的中點，證明：平面AMG⊥平面BDF；
（2）若N為線段EF上任意一點，設直線AN與平面ABF，平面BDF所成角分別是α，β，求$\frac{sinα}{sinβ}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設AC∩BD=O，連結OF，OM，推導出AM⊥OF，DB⊥CA，從而DB⊥平面ACEF，進而DB⊥AM，AM⊥平面BDF，由此能證明平面AMG⊥平面BDF．
（2）分別以CD、CB、CE為x，y，z軸建立坐標系，利用向量法能求出$\frac{sinα}{sinβ}$的取值范圍．

解答 證明：（1）設AC∩BD=O，連結OF，OM，
由已知得AO=1，AF=1，
∴四邊形AFMO是正方形，∴AM⊥OF，
又∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，交線是CA，DB⊥CA，
∴DB⊥平面ACEF，又AM?平面ACEF，∴DB⊥AM，
∵BD∩OF=O，∴AM⊥平面BDF，
∵AM?平面AMG，∴平面AMG⊥平面BDF．
解：（2）∵正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，交線是CA，EC⊥CA，
∴EC⊥平面ABCD，∴CD、CB、CE兩兩垂直，
分別以CD、CB、CE為x，y，z軸建立坐標系，
則平面ABF的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
由（1）得平面BDF的法向量$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{AM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
由N為線段EF上任意一點，
設$\overrightarrow{EN}$=$λ\overrightarrow{EF}$=$λ\overrightarrow{CA}$=λ（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，0$），（λ∈[0，1]），
∴$\overrightarrow{AN}$=（（λ-1）$\sqrt{2}$，（λ-1）$\sqrt{2}$，1），
∴sinα=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|（λ-1）•\sqrt{2}|}{\sqrt{4（λ-1）^{2}+1}}$=$\frac{（1-λ）\sqrt{2}}{\sqrt{4（λ-1）^{2}+1}}$，
∵λ∈[0，1]，∴$\frac{sinα}{sinβ}$=$\frac{2（1-λ）}{3-2λ}$=1-$\frac{1}{3-2λ}$∈[0，$\frac{2}{3}$]．

點評 本題考查面面垂直的證明，考查兩角的正弦值的取值范圍的求法，涉及到空間中線線、線面、面面間的位置關系等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想、數形結合思想，是中檔題．