Question

12．在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ADC面積的兩倍，則$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×AB×AD×sin∠BAD}{\frac{1}{2}×AC×AD×sin∠CAD}$，sin∠BAD=sin∠CAD，得到$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AB}{AC}$=2，由此能求出$\frac{sin∠B}{sin∠C}$的值．

解答 解：∵在△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ADC面積的兩倍，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×AB×AD×sin∠BAD}{\frac{1}{2}×AC×AD×sin∠CAD}$，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴sin∠BAD=sin∠CAD，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{AB}{AC}$=2，
∵$\frac{AB}{sin∠C}$=$\frac{AC}{sin∠B}$，
∴$\frac{sin∠B}{sin∠C}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查三角形中兩角正弦值的求法，涉及到三角形面積公式、正弦定理等知識點，考查推理論證能力、運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．