Question

4．函數f（x）的定義域為R，f（-1）=2，對?x∈R，f'（x）＞2，則f（log₂x）＜2log₂x+4的解集為（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 設g（x）=f（x）-2x，由f′（x）＞2，得到g′（x）大于0，得到g（x）為增函數，將所求不等式變形后，利用g（x）為增函數求出x的范圍，即為所求不等式的解集．

解答 解：設g（x）=f（x）-2x，則g′（x）=f′（x）-2，
∵對?x∈R，f'（x）＞2，
∴g′（x）＞0．
∴g（x）在定義域內單調遞增，
∴f（log₂x）＜2log₂x+4?f（log₂x）-2log₂x＜4，
∵g（-1）=f（-1）-2×（-1）=4，
即g（log₂x）＜g（-1），
∴log₂x＜-1，得0＜x＜$\frac{1}{2}$，
則f（log₂x）＜2log₂x+4的解集為（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{2}$）．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，構造函數是解答該題的關鍵，是中檔題．