Question

19．已知全集U=R，非空集合$A=\left\{{x|\frac{x-2}{{x-（{3a+1}）}}＜0}\right\}，B=\left\{{x|\frac{{x-{a^2}-2}}{x-a}＜0}\right\}$．
（1）當$a=\frac{1}{2}$時，求（∁_UB）∩A；
（2）命題p：x∈A，命題q：x∈B，若p是q的充分條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當$a=\frac{1}{2}$時，分別求出集合A，B的等價條件，結合集合的基本運算進行求解即可．
（2）根據p是q的充分條件，轉化為A⊆B，結合集合的包含關系，建立不等式關系進行求解即可．

解答 解：（1）當$a=\frac{1}{2}$時，A={x|$\frac{x-2}{x-\frac{5}{2}}$＜0}={x|2＜x＜$\frac{5}{2}$}，B={x|$\frac{x-\frac{9}{4}}{x-\frac{1}{2}}$＜0}={x|$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{9}{4}$}，
則∁_UB={x|x≥$\frac{9}{4}$或x≤$\frac{1}{2}$}，
∴（∁_UB）∩A={x|$\frac{9}{4}$≤x＜$\frac{5}{2}$}．
（2）∵a²+2＞a，∴B={x|a＜x＜a²+2}，
①當3a+1＞2，即a＞$\frac{1}{3}$時，即A={x|2＜x＜3a+1}，
∵p是q的充分條件，∴A⊆B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a+1≤{a}^{2}+2}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{3}＜a≤\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；
②當3a+1=2，即a=$\frac{1}{3}$時，即A=∅，符合題意；
③3a+1＜2，即a＜$\frac{1}{3}$時，即A={x|3a+1＜x＜2}，
由A⊆B得a≤3a+1，且a²+2≥2，解得-$\frac{1}{2}$≤a＜$\frac{1}{3}$．
綜上所述a∈[$-\frac{1}{2}$，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$]．

點評 本題主要考查集合的基本運算以及充分條件和必要條件的應用，根據條件求出集合的等價條件，結合集合關系轉化為不等式關系是解決本題的關鍵．